組合せの数：全単射を数え分ける証明の準備（補集合と制限）。

1 補集合と制限

\(k+m\) 個の集合から \(k\) 元部分集合を除くと \(m\) 個。
全単射 \(f\) を部分 \(K\) に制限すると、\(K\) からその像への全単射。
全単射なら、補集合の像は像の補集合。
全単射 \(f\) は、\(K\) の上の部分と \(X \setminus K\) の上の部分に分かれる。
逆に、\(K \to A\) と \(X \setminus K \to Y \setminus A\) の全単射をつなぐと、\(K\) の像が \(A\) の全単射。
\(K\) の像が \(A\) の全単射 \(f\) は、\(f\) を \(K\) と \(X \setminus K\) に制限した組と1対1に対応する。

2 階乗の式

\(D = K \cup M\)（\(K\) は \(k\) 個・\(M\) は \(m\) 個）の全単射 \(f\) を、\(K\) の像 \(f[K]\)（\(D\) の \(k\) 元部分集合）で分ける。どの像 \(A\) についても、そうなる \(f\) は \(K \to A\) と \(M \to D \setminus A\) の全単射の組と1対1なので \(k! \cdot m!\) 個。よって \((k+m)! = {}_{k+m}\mathrm{C}_{k} \cdot k! \cdot m!\)。
\(m + n\) は \(m \times \{0\}\) と \(n \times \{1\}\) を合わせた個数。
+=# … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + n \stackrel{\#}= m \times \{ \emptyset \} \cup n \times \{ 1 \}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄
\(k , m \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( ( k + m ) \mathrm{C} k ) \cdot ( k ! \cdot m ! ) = ( k + m ) !\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，AxC ，!𝕄