このBookでは \(\mathbb{M}\) は定義せず、クラスについての帰納法 IND𝕄 を公理として置く（74a と別の構成）。

1 準備

word(,s) … \(\mathbb{M}\)  \(0\)
word(s,s) … \(\textit{+1}\)
IND𝕄 … \(0 \in D , \forall m \in \mathbb{M} . ( m \in D \Longrightarrow m \textit{+1} \in D ) \Longrightarrow \mathbb{M} \subset D\)

2 主定理

一項述語 \(p\) を使った帰納法は、IND𝕄 の \(D\) を \(\{m \mid p(m)\}\) とすればすぐにわかる。
\({p} ( 0 ) , \forall n \in \mathbb{M} . \, ( {p} ( n ) \Rightarrow {p} ( n \textit{+1} ) ) \Longrightarrow \forall n \in \mathbb{M} . \, {p} ( n )\) \(\blacktriangleleft\) IND𝕄

3 74a との関連

word(s,s) … \(\hat{\textit{+1}}\)
^suc. … \(X \hat{\textit{+1}} = \{ n \textit{+1} \mid n \in X \}\)
word(,c) … \(\text{Ind}\)
Ind. … \(\text{Ind} = \{ M \mid 0 \in M , M \hat{\textit{+1}} \subset M \}\)
word(c,c) … \(\bigcap\)
⋂_. … \(\bigcap \mathcal{X} = \{ x \mid \forall X \in \mathcal{X} . x \in X \}\)

\(\mathbb{M}\) が帰納的集合なら逆も成り立ち、74a.book の定義が定理となる。
\(\mathbb{M} \subset \bigcap \text{Ind}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，IND𝕄
\(\mathbb{M} \in \text{Ind} \Longrightarrow \bigcap \text{Ind} \subset \mathbb{M}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\)