素数は無限にある（別証明）。フェルマー数 \(F_n = 2^{2^n}+1\) の素因数で、より小さいフェルマー数を割らないものがあることから示す。

1 フェルマー数

フェルマー数 \(F_n = 2^{2^n} + 1\)（\(F_0 = 3, F_1 = 5, F_2 = 17, \ldots\)）。異なるフェルマー数は共通の素因数を持たないので、\(F_n\) の素因数は \(n\) ごとに新しく、素数は無限にある（Proofs from THE BOOK 1章）。
↑+ … \(m , j , k \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ ( j + k ) = m ^ j \cdot m ^ k\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，Ldiv ，LG ，Euclid
\(2^{2^{n+1}} = (2^{2^n})^2\)（G2）。\(2^{2^n}\) は 0 でない偶数（Gev）。
G2 … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow 2 ^ { 2 ^ { ( n + 1 ) } } = ( 2 ^ { 2 ^ n } ) ^ 2\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，Ldiv ，LG ，Euclid ，↑+ ，G2⋅
Gev … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \exists h \in \mathbb{M} . 2 ^ { 2 ^ n } = 2 \cdot h , h \neq 0\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，Ldiv ，LG ，Euclid ，↑+ ，G2⋅ ，G2

2 主定理

\(m < n\) なら \(F_n = F_m Q + 2\)（K1・\(F_n - 2 = F_0 F_1 \cdots F_{n-1}\) の言い換え）。よって \(F_m\) と \(F_n\) を両方割る素数は 2 を割るが、\(F_m\) は奇数（K2）。
K1 … \(m , n \in \mathbb{M} , m < n \Longrightarrow \exists Q \in \mathbb{M} . 2 ^ { 2 ^ n } + 1 = ( 2 ^ { 2 ^ m } + 1 ) \cdot Q + 2\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，Ldiv ，LG ，Euclid ，↑+ ，G2⋅ ，G2 ，Gev
K2 … \(p \in \mathbb{P} , m , n \in \mathbb{M} , m < n , p \mid 2 ^ { 2 ^ m } + 1 \Longrightarrow \neg p \mid 2 ^ { 2 ^ n } + 1\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，Ldiv ，LG ，Euclid ，↑+ ，G2⋅ ，G2 ，Gev ，K1
どの \(n\) についても、\(F_n\) を割り、それより前の \(F_m\)（\(m < n\)）は割らない素数がある。\(n\) ごとに新しい素数が見つかるので、素数は無限にある。
\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \exists p \in \mathbb{P} . p \mid 2 ^ { 2 ^ n } + 1 , \forall m \in \mathbb{M} . ( m < n \Longrightarrow \neg p \mid 2 ^ { 2 ^ m } + 1 )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，Ldiv ，LG ，Euclid ，↑+ ，G2⋅ ，G2 ，Gev ，K1 ，K2