\(\sqrt{2}\) が無理数であること。2乗と偶数・奇数の議論で示す。

1 準備

どの自然数も \(2k\) か \(2k+1\) のどちらか一方の形（articles2/0 の Lpar・Lodd）。
奇数の2乗は奇数なので、\(m^2\) が偶数なら \(m\) は偶数。
Lev … \(m , x \in \mathbb{M} , m ^ 2 = 2 \cdot x \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{M} . m = 2 \cdot k\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Ax+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，1. ，2. ，3. ，4. ，5.

2 主定理

\(\sqrt{2}\) が分数 \(m/n\)（\(n \neq 0\)）で書けるなら \(m^2 = 2n^2\)。この本は有理数・実数を扱わないので、この言い換えは本の外で行い、本は「そのような自然数 \(m, n\) は無い」ことを示す（√2∄）。
\(m^2 = 2n^2\) なら \(m^2\) は偶数なので \(m = 2k\)、すると \(n^2 = 2k^2\) で \(n = 2j\)、さらに \(k^2 = 2j^2\)。
\(n \neq 0\) なら \(j < n\) で同じ形の解 \((k, j)\) ができる（無限降下）。\(n\) についての強い帰納法（SIND）で \(n = 0\)。
√2 … \(m , n \in \mathbb{M} , m ^ 2 = 2 \cdot n ^ 2 \Longrightarrow n = 0\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Ax+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，1. ，2. ，3. ，4. ，5.
すなわち \(m^2 = 2n^2\)、\(n \neq 0\) となる自然数 \(m, n\) は無い。
√2∄ … \(\neg \exists m \in \mathbb{M} . \exists n \in \mathbb{M} . n \neq 0 , m ^ 2 = 2 \cdot n ^ 2\) \(\blacktriangleleft\) √2 ，\(\mathbb{W}.\) ，ℤ. ，-ℤ ，+ℤ ，Ax+𝕄 ，⋅𝕄 ，\(1 \in \mathbb{M}\) ，\(2 \in \mathbb{M}\) ，\(3 \in \mathbb{M}\) ，\(4 \in \mathbb{M}\) ，\(5 \in \mathbb{M}\) ，1. ，2. ，3. ，4. ，5.