等比数列の和：初項 \(a\)・公比 \(r\) の最初の \(n\) 項の和 \(s\) について \(r\,s + a = s + a r^n\)。

1 主定理

列 \(f\) の第 \(i\) 項が \(a r^i\) のとき、最初の \(n\) 項の和 \(f\ \mathrm{sum}\ n\)（articles2/Seq）を \(s(n)\) とします。
自然数には引き算が無いので、\((r-1)\,s(n) = a(r^n - 1)\) を両辺に \(s(n) + a\) を足した形 \(r\,s(n) + a = s(n) + ar^n\) で述べます（\(r = 1\) のときは \(s(n) = na\) を言わない点に注意）。
証明は \(n\) についての帰納法です。\(n = 0\) では両辺とも \(a\)。\(n\) から \(n+1\) へは \(r\,s(n+1) + a = (r\,s(n) + a) + ar^{n+1} = s(n) + ar^n + ar^{n+1} = s(n+1) + ar^{n+1}\)。
Geo … \(a , r \in \mathbb{M} , \forall i \in \mathbb{M} . f ( i ) = a \cdot r ^ i , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow r \cdot ( f \sum n ) + a = ( f \sum n ) + a \cdot r ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，sum𝕄