等差数列の和：初項 \(a\)・公差 \(d\) で \(2s(n+1) = (n+1)(2a+nd)\)。
列 \(f\) の第 \(i\) 項が \(a + id\) のとき、最初の \(n+1\) 項の和 \(f\ \mathrm{sum}\ (n+1)\)（articles2/Seq）を \(s(n+1)\) とします。
\(s(1) = a\)、\(s(2) = a + (a + d)\) です。主定理は割り算を使わず \(2s(n+1) = (n+1)(2a + nd)\) の形で述べます。
証明は \(n\) についての帰納法（INDC）です。\(n = 0\) では両辺とも \(2a\)。\(n\) から \(n+1\) へは、漸化式と帰納法の仮定から \(2s(n+2) = (n+1)(2a + nd) + 2(a + (n+1)d) = (n+2)(2a + (n+1)d)\)。

1 主定理

等差数列：第 \(i\) 項が \(a + i d\) の列について、最初の \(n+1\) 項の和 \(s\) は \(2s = (n+1)(2a + nd)\)。
Ari … \(a , d \in \mathbb{M} , \forall i \in \mathbb{M} . f ( i ) = a + i \cdot d , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow 2 \cdot ( f \sum ( n + 1 ) ) = ( n + 1 ) \cdot ( 2 \cdot a + n \cdot d )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Peano1 ，Peano2 ，ℕ. ，INDC ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，ℙ.' ，\(0 \in \mathbb{M}\) ，sum𝕄