三角数 \(T_k = k(k+1)/2\) の逆数の和：\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{T_k} = \frac{2n}{n+1}\)。部分和の列 \(s(n)\) を漸化式 \(s(0) = 0\)、\(s(n+1) = s(n) + \frac{1}{T_{n+1}}\) で与え、\(n\) についての帰納法で示します。

1 準備

Rn1 … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow n \cdot ( n + 2 ) + 1 = ( n + 1 ) \cdot ( n + 1 )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄
Rn2 … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( 2 \cdot n ) \cdot ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 2 ) ) + 2 \cdot ( n + 1 ) = ( 2 \cdot ( n + 1 ) ) \cdot ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 1 ) )\) \(\blacktriangleleft\) Rn1 ，\(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄
Rn3 … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( n + 1 ) \cdot ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 2 ) ) = ( n + 2 ) \cdot ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 1 ) )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄

2 1項ぶんの計算

\(\frac{2n}{n+1} + \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2(n+1)}{n+2}\)。通分すると分子は \(2(n+1)\cdot(n+1)^2\)、分母は \((n+2)\cdot(n+1)^2\) になる。
Lst … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( ( 2 \cdot n ) / ( n + 1 ) ) + ( 2 / ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 2 ) ) ) = ( 2 \cdot ( n + 1 ) ) / ( n + 2 )\) \(\blacktriangleleft\) Rn2 ，Rn3 ，\(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，-ℤ ，÷ℚ ，+ℚ ，⋅ℚ

3 帰納法の底と歩み

LB … \({s} ( 0 ) = 0 \Longrightarrow {s} ( 0 ) = ( 2 \cdot 0 ) / ( 0 + 1 )\) \(\blacktriangleleft\) Lst ，\(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，-ℤ ，÷ℚ ，+ℚ ，⋅ℚ
LS … \(\forall n \in \mathbb{M} . {s} ( n + 1 ) = {s} ( n ) + ( 2 / ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 2 ) ) ) , n \in \mathbb{M} , {s} ( n ) = ( 2 \cdot n ) / ( n + 1 ) \Longrightarrow {s} ( n + 1 ) = ( 2 \cdot ( n + 1 ) ) / ( ( n + 1 ) + 1 )\) \(\blacktriangleleft\) Lst ，\(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，-ℤ ，÷ℚ ，+ℚ ，⋅ℚ

4 三角数の逆数の和

\({s} ( 0 ) = 0 , \forall n \in \mathbb{M} . {s} ( n + 1 ) = {s} ( n ) + ( 2 / ( ( n + 1 ) \cdot ( n + 2 ) ) ) \Longrightarrow \forall n \in \mathbb{M} . {s} ( n ) = ( 2 \cdot n ) / ( n + 1 )\) \(\blacktriangleleft\) LB ，LS ，\(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，-ℤ ，÷ℚ ，+ℚ ，⋅ℚ