\(n\) 個の集合の部分集合は \(2^n\) 個。\(n\) についての帰納法で示す（52b と別の証明）。

1 準備

主定理の最初のステップは次の定理。
℘0 … \(\wp 0 = 1\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄
後続についての証明で使用される補題。
L⋅2 … \(m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot 2 = m + m\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄
個数の等しい集合のべき集合は、個数が等しい（\(A \mapsto f[A]\) が全単射）。
℘=# … \(X \stackrel{\#}= Y \Longrightarrow \wp X \stackrel{\#}= \wp Y\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s

2 主定理

2.1 証明①

\(n \cup \{n\}\) の部分集合は、\(n\) を含まないもの（\(\wp n\) の元）と、含むものに分かれる。
2つは交わらず、\(A \mapsto A \cup \{n\}\) で後者は \(\wp n\) と対等。
よって \(\wp n\) が \(2^n\) 個なら \(\wp(n \cup \{n\})\) は \(2^n + 2^n = 2^{n+1}\) 個。
\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \wp n \stackrel{\#}= 2 ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄

2.2 証明②

交わらない \(X\), \(Y\) について \(C \mapsto (C \cap X, C \cap Y)\) は \(\wp(X \cup Y)\) から \(\wp X \times \wp Y\) への全単射。
℘∪ … \(X \cap Y = \emptyset \Longrightarrow \wp ( X \cup Y ) \stackrel{\#}= \wp X \times \wp Y\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s
\(n \cup \{n\}\) の部分集合は \(\wp n \times \wp \{n\} = \wp n \times \{\emptyset, \{n\}\}\) と対等。
これは \(\wp n\) と対等な交わらない2つ \(\wp n \times \{\emptyset\}\)、\(\wp n \times \{\{n\}\}\) に分かれる。
\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \wp n \stackrel{\#}= 2 ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄

2.3 系

\(X \stackrel{\#}= n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \wp X \stackrel{\#}= 2 ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄