ケーニヒスベルクの橋：7本の橋をすべてちょうど1回ずつ渡る道はない（頂点の次数から示す）。

1 オイラー路と次数

辺の集合 \(E\)、接続 \(I\)（\((e, u) \in I\) は「\(u\) が辺 \(e\) の端」）で、どの辺もちょうど2つの異なる端をもつグラフを考えます。
頂点の列 \(v(0), \dots, v(t)\) と辺の列 \(w(0), \dots, w(t-1)\) で、\(w(i)\) が \(v(i)\) と \(v(i+1)\) を結び、どの辺もちょうど1回現れるもの（オイラー路）があれば、両端以外の頂点 \(x\) の次数（\(x\) を端とする辺の個数）は偶数です。
\(\forall e \in E . \exists y , z \, y \neq z , \forall u \, ( \langle e , u \rangle \in I \Longleftrightarrow u = y \mathbin{\rm o\!r} u = z ) , t \in \mathbb{M} , \forall i \in \mathbb{M} . ( i < t \Longrightarrow {w} ( i ) \in E , \forall u \, ( \langle {w} ( i ) , u \rangle \in I \Longleftrightarrow u = {v} ( i ) \mathbin{\rm o\!r} u = {v} ( i + 1 ) ) ) , \forall e \in E . \exists! i \, i \in \mathbb{M} , i < t , e = {w} ( i ) , x \neq {v} ( 0 ) , x \neq {v} ( t ) , \forall e \, ( e \in D \Longleftrightarrow e \in E , \langle e , x \rangle \in I ) \Longrightarrow \exists h \in \mathbb{M} . D \stackrel{\#}= 2 \cdot h\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄

2 ケーニヒスベルクの橋

島 \(d\) と陸地 \(a, b, c\) を7本の橋 \(0, \dots, 6\) が結びます（\(d\)–\(a\) に 0 と 1、\(d\)–\(b\) に 2 と 3、\(d\)–\(c\) に 4、\(a\)–\(c\) に 5、\(b\)–\(c\) に 6）。\(a, b, c\) はどれも3本の橋の端（次数が奇数）で、道の両端にならない頂点がその中に残るので、どの歩き方も7本の橋をちょうど1回ずつ渡ることはできません。
\(a \neq b , a \neq c , a \neq d , b \neq c , b \neq d , c \neq d , B = 0 \mathinner{\ldotp\ldotp} 6 , \forall e , u \, ( \langle e , u \rangle \in J \Longleftrightarrow ( ( e = 0 \mathbin{\rm o\!r} e = 1 ) , ( u = d \mathbin{\rm o\!r} u = a ) ) \mathbin{\rm o\!r} ( ( e = 2 \mathbin{\rm o\!r} e = 3 ) , ( u = d \mathbin{\rm o\!r} u = b ) ) \mathbin{\rm o\!r} ( e = 4 , ( u = d \mathbin{\rm o\!r} u = c ) ) \mathbin{\rm o\!r} ( e = 5 , ( u = a \mathbin{\rm o\!r} u = c ) ) \mathbin{\rm o\!r} ( e = 6 , ( u = b \mathbin{\rm o\!r} u = c ) ) ) , n \in \mathbb{M} , \forall i \in \mathbb{M} . ( i < n \Longrightarrow {w} ( i ) \in B , \forall u \, ( \langle {w} ( i ) , u \rangle \in J \Longleftrightarrow u = {v} ( i ) \mathbin{\rm o\!r} u = {v} ( i + 1 ) ) ) \Longrightarrow \neg \forall e \in B . \exists! i \, i \in \mathbb{M} , i < n , e = {w} ( i )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄