初項 \(a\)、公差 \(d\) の等差数列の最初の \(n+1\) 項の和 \(\sum_{i=0}^{n} (a + i d)\) の公式（\(a, d\) は可換半環 \(S\) の元）。和 \(\sum\) は common/word_basis のもの。68a の準備（最初の項 Lab と次の項 Lar）を使う。

1 主定理

\(( S , [+] , [\cdot] ) \text{csemiring} , a , d \in S , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow 2 \cdot \sum_{ i \in ( 0 \mathinner{\ldotp\ldotp} n ) } ( a + i \cdot d ) = ( n + 1 ) \cdot ( 2 \cdot a + n \cdot d )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，AxΣ