完全数：\(q = 2^{k+1}-1\) が素数なら \(2^k q\) は完全数（約数の和が \(2\cdot 2^k q\)）。

1 約数の集合と和

\({\rm Div}\,n\) は \(n\) の約数全体の集合。
word(s,s) … \(\mathrm{Div}\)
Div. … \(\mathrm{Div} n = \{ d \in \mathbb{M} \mid d \mid n \}\)
\(\sum X\)（有限集合 \(X\) の元の和）を common/word_basis の和で \(\sum X = [ \sum i \in X . i ]\) と定める。\(\sum \emptyset = 0\) と、上に有界な \(X \subset \mathbb{M}\) に \(X\) の外の \(x\) を足すと和が \(x\) 増えること（∑𝕄）を AxΣ から示しておく。
word(s,s) … \(\sum'\)
abbr … \(\{ x_{1} , \cdots , x_{\tt n} \}\) ≈ \(\mathsf{set}_{\tt n} ( x_{1} , \cdots , x_{\tt n} )\)
∑'. … \(\sum' X = \sum_{ i \in X } i\)

2 補題

\(d \mid 2m\) なら、\(d \mid m\) か、\(d = 2f\)（\(f \mid m\)）。\(d\) が奇数なら \(d \mid m\)（奇数どうしの積は奇数）。
素数 \(q\) の約数は \(1\) と \(q\) だけ。

3 和の帰納法

素数 \(q\) について、\(2^{j+1} q\) の約数は \(2^j q\) の約数か \(2^{j+1}\) か \(2^{j+1} q\)（\(j\) についての帰納法）。
奇数の素数 \(q\) について \(\sum {\rm Div}\,2^j q + (q+1) = (q+1) \cdot 2^{j+1}\)（\(j\) についての帰納法）。

4 主定理

\(2^{k+1} - 1 = q\) が素数なら \(2^k q\) は完全数：約数の和が自身の2倍。
\(q \in \mathbb{P} , k \in \mathbb{M} , q + 1 = 2 ^ { ( k + 1 ) } \Longrightarrow \sum' ( \mathrm{Div} ( 2 ^ k \cdot q ) ) = 2 \cdot ( 2 ^ k \cdot q )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，AxΣ