べき乗の和：\(\sum_{i=0}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)（2乗）と \(\sum_{i=0}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)（3乗）。自然数には割り算が無いので、両辺を 6 倍・4 倍した形で述べる。和 \(\sum\) は common/word_basis のもの。

1 準備

3乗の和の帰納法の1歩：\(4u = m^2(m+1)^2\) ならば \(4(u + (m+1)^3) = (m+1)^2(m+2)^2\)。
2乗を ↑ で書いた形（Lar⋅2 の言い換え）。
3乗を ↑ で書いた形（Lar⋅3 の言い換え）。

2 主定理（k = 2）

\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow 6 \cdot \sum_{ i \in ( 0 \mathinner{\ldotp\ldotp} n ) } i ^ 2 = n \cdot ( ( n + 1 ) \cdot ( 2 \cdot n + 1 ) )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，AxΣ

3 主定理（k = 3）

\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow 4 \cdot \sum_{ i \in ( 0 \mathinner{\ldotp\ldotp} n ) } i ^ 3 = n ^ 2 \cdot ( n + 1 ) ^ 2\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，↑𝕄 ，AxΣ