有限集合の和集合の個数を、共通部分の個数から求める（包除原理）。2つの集合の場合と n 個の場合。

1 2つの集合

\(|A \cup B| + |A \cap B| = |A| + |B|\)、整数で書けば \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)。\(B \setminus A\) は有限で、\(A \cup B\) は \(A\) と \(B \setminus A\)、\(B\) は \(A \cap B\) と \(B \setminus A\) に交わらずに分かれる。
\(a , b , c , u \in \mathbb{M} , A \stackrel{\#}= a , B \stackrel{\#}= b , A \cap B \stackrel{\#}= c , A \cup B \stackrel{\#}= u \Longrightarrow u + c = a + b , u = ( a + b ) + ( - c )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，-ℤ ，+ℤ

2 n 個の集合

2.1 偶奇と1つの添字の出し入れ

1を足すと偶奇が入れ替わる。
1つ除くと個数が1つ減る。
添字を1つ入れ替えると、個数の偶奇が入れ替わる（Lt3）。
\(x\) を含む最小の添字（M1）はただ1つ（M2）。

2.2 偶数個と奇数個の対応

添字の集合 \(I\) と元 \(x\) の組 \((I, x)\) に、\(x\) を含む最小の添字 \(j\) を \(I\) に入れる・除くことで組 \((I', x)\) を対応させる。
この対応は、添字の個数が偶数の組と奇数の組の間の全単射（BIJ）。

2.3 個数と和

区間の補題。
\(I \subset \{1, \ldots, n\}\) なら \(I\) の個数は \(0 .. n\) のどれか（Lc）。
個数ごとに分けて数える：個数が \(Y\) の元 \(k\) である組の全体 \(S\) は、\(k\) ごとの個数 \(g(k)\) の和だけある（LS）。

2.4 主定理

添字の個数が 0 の組 \((\emptyset, x)\) は \(U\) の元と同じだけある（K1）。
\(n\) 個の集合 \(A_1, \ldots, A_n\) を \(\langle i, x \rangle \in A\)（\(x \in A_i\)）で与え、\(U = A_1 \cup \cdots \cup A_n\) は \(u\) 個とする。\(T\) は組 \((I, x)\)（\(I \subset \{1, \ldots, n\}\)・\(x \in U\)・\(i \in I\) なら \(x \in A_i\)、\(I = \emptyset\) も含む）の全体、\(1 \le k \le n\) について \(e(k)\)・\(o(k)\) は \(|I| = k\) の組の個数（\(k\) が偶数・奇数のとき）。
このとき \(u + \sum_{k \text{ 偶数}} e(k) = \sum_{k \text{ 奇数}} o(k)\)。\(|I| = k\) の組の個数は \(k\) 元の \(I\) についての \(|\bigcap_{i \in I} A_i|\) の和なので、これは包除原理 \(u = \sum_{\emptyset \neq I} (-1)^{|I|+1} |\bigcap_{i \in I} A_i|\) を、偶数個と奇数個にまとめて書いたもの（引き算なしの形と、整数の引き算の形 \(u = \sum o - \sum e\) の両方を示す）。
\(n \in \mathbb{M} , \forall x ( x \in U \Longleftrightarrow \exists i \in 1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n . \langle i , x \rangle \in A ) , \forall p ( p \in T \Longleftrightarrow \exists I , x \, p = \langle I , x \rangle , I \subset 1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n , x \in U , \forall i \in I . \langle i , x \rangle \in A ) , U \stackrel{\#}= u , u \in \mathbb{M} , \forall k ( k \in Y \Longleftrightarrow k \in 1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n , \exists i \in \mathbb{M} . k = 2 \cdot i ) , \forall k ( k \in Z \Longleftrightarrow k \in 1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n , \neg \exists i \in \mathbb{M} . k = 2 \cdot i ) , e \in Y \to \mathbb{M} , \forall k , w \, ( \langle k , w \rangle \in e \Longrightarrow \forall P \, ( \forall p ( p \in P \Longleftrightarrow p \in T , \triangleleft p \stackrel{\#}= k ) \Longrightarrow P \stackrel{\#}= w ) ) , o \in Z \to \mathbb{M} , \forall k , w \, ( \langle k , w \rangle \in o \Longrightarrow \forall P \, ( \forall p ( p \in P \Longleftrightarrow p \in T , \triangleleft p \stackrel{\#}= k ) \Longrightarrow P \stackrel{\#}= w ) ) \Longrightarrow u + \sum e = \sum o , u = ( \sum o ) + ( - ( \sum e ) )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax𝕄 ，ax_s ，+𝕄 ，⋅𝕄 ，AxΣ ，-ℤ ，+ℤ